证明二元函数z=f(x,y) =xy/x^2+y^2 x,y≠0 =0 x,y=0 在(0,0)的偏导存在,但是不连续.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/01/20 10:02:42

证明二元函数z=f(x,y) =xy/x^2+y^2 x,y≠0 =0 x,y=0 在(0,0)的偏导存在,但是不连续.
证明二元函数z=f(x,y) =xy/x^2+y^2 x,y≠0 =0 x,y=0 在(0,0)的偏导存在,但是不连续.

证明二元函数z=f(x,y) =xy/x^2+y^2 x,y≠0 =0 x,y=0 在(0,0)的偏导存在,但是不连续.
f(x,0)=0,所以 在(0,0),Fx=0
同理,在(0.0),Fy=0
即偏导存在.
令x=0,则当y-->0时,limz=0
令x=y,则当x-->0,y-->0时,limz=1/2
(0.0)处极限不唯一,所以不连续.

证明:因为当(x,y)→(0,0)时,lim(f(x,0)-f(0,0))/x=0,lim(f(0,y)-f(0,0))/y=0
所以函数z的两个偏导数存在。
取y=kx,当(x,y)=(x,kx)→(0,0)时,
limf(x,y)=lim(kx^2)/(x^2+k^2x^2)=lim(k/(1+k^2)=k/(1+k^20)

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证明:因为当(x,y)→(0,0)时,lim(f(x,0)-f(0,0))/x=0,lim(f(0,y)-f(0,0))/y=0
所以函数z的两个偏导数存在。
取y=kx,当(x,y)=(x,kx)→(0,0)时,
limf(x,y)=lim(kx^2)/(x^2+k^2x^2)=lim(k/(1+k^2)=k/(1+k^20)
随着k的不同,上述值不同,与极限唯一矛盾,故极限不存在。

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